# Cheenta and Singapore Method - creating Mathematicians of the future

Recently, French mathematician Cedric Villani's team came up with '21 measures for the teaching of Mathematics'. I read through the report, with great curiosity and happily noted that Cheenta's Thousand Flowers program (Level 1, 2 and 3 of Math Olympiad Program) has already implemented some of their recommendations. 'Thousand Flowers' is a unique interdisciplinary program at Cheenta for students of class 1 to 6. It is designed as a 'pre-olympiad' program. Usually, young kids who desire to participate in Mathematics (or science) olympiads in future, participate in this course. The 'Thousand Flowers' program is strongly grounded on three principles:

• Touch. See.
• Let students create physical models, and use software, to create models of mathematical objects. These activities have a much higher priority than 'tables', 'formulae', 'theorems' etc.
• Big Picture
• Integrate ideas from physics, astronomy, computer science to enhance the mathematics discussions.
• Problem Driven
• All discussions should be essentially driven by great problems, that do not require 'big formulae'. Mathematical Circles of Soviet Union had an enormous collection of such problems.

#### Touch. See.

Mobius Band

We consider the Mobius Band in one of our sessions. First, pick a piece of paper and cut out a horizontal strip. Next, twist the strip once and glue the two ends.

Mobius band has many 'visually' appealing features. For examples, students can easily experiment and check that it has only one face! Moreover, we may cut the Mobius band along the midline, or along lines which are closer to the ends and try to guess the result. Finally, the students were asked to create doubly twisted, triply twisted bands, and guess what would happen if they were cut in certain ways.

Ellipse Compass

Draw two points, A, B, on a piece of paper. Suppose A and B are 5 centimeters apart. Take a thread, 8 cm long. Glue two ends of the thread to A and B. Now take a pencil to stretch the thread as much as you can. Then move the pencil to mark the path of motion on the paper.

The result is an ellipse and the device that we constructed is an ellipse compass. The discussion naturally extends to the idea of 'locus'. In a Thousand Flowers session, students constructed the ellipse compass. Then they were encouraged to 'imagine' path traced out by moving points with a pre-defined rule of motion. They could easily understand (guess) the cycloid, astroid and circle. These are only two examples of several 'hands-on' activities that were implemented in the Thousand Flowers program. The process delivers an immediate sense of 'accomplishment' to the kid. They also have some 'end product' to hold on to. The method is also useful to excite imagination in student's mind. Moreover, it prompts them to experiment, fail, and experiment again. True research caliber work requires this 'attitude' toward fundamental science.

#### Big Picture

Vectors and Kinematics

We introduce 'vectors' as tools of translation (geometric motion). This naturally leads to the investigation of 'magnitude' and 'direction' of motion. This, in turn, motivated us to introduce two numbers that would encapsulate this data (direction and magnitude). Hence 'polar' coordinate system precedes 'cartesian' coordinate system in this approach. A natural application of this tool for quantifying translation is to describe kinematics (from rudimentary mechanics). The notion of relative velocity and a related problem is served in a follow-up session

Sieve of Eratosthenes and Prime Algorithm

Prime numbers are divisible by 1 and itself. They are the building blocks of all numbers. Once a student is familiar with a sufficiently large number of examples of prime numbers, we may start to count them. Sieve of Eratosthenes gives us a 'method' to do exactly that. Some examples show that it is time-consuming to implement the Sieve 'by hand'. How can we ask a machine to do this counting? Suppose we want the computer to count the number of primes from 1 to 10000. What step by step instruction, should we give the computer to do just that? This problem is interesting because there is no prime number formula, as of today (we have Gauss approximations, but no exact formula). Students gain rudimentary intuition about arrays, loops, and pseudocode in the process of writing the step by step instructions for the computer. The major portion of Thousand Flowers program is devoted to mathematics. However, it is very important to have an interdisciplinary approach in the discourse. After all, the bulk of mathematics was created to solve the real-world problems of architecture, measurement, engineering, and life sciences. Sulba Sutra found 'Pythagoras' theorem (about 700 years before Pythagoras) to solve a problem of architecture (how to build Vedic alters). Archimedes found the method of infinite approximation for a similar reason. Gauss discovered differential geometry while carrying out a geographical survey. Protein modeling has rejuvenated the development of algorithms and graph theory.

#### Problem Driven

Consider the following problems:

1. Can a knight start at square a1 of the chess board and go to h8 visiting each of the remaining squares exactly once on the way?
2. Suppose the positive integer n is odd. First Al writes the numbers 1, 2, . . . , 2n on the blackboard. Then he picks any two numbers a, b, erases them, and writes, instead, |a − b|. Prove that an odd number will remain at the end.

Both of these problems demand ingenuity. They do not need any arcane formula or theorem. All the Thousand Flower discussion are necessarily problem driven. More importantly, most of these problems are of elementary nature (that is they can be solved without any big formula or theorem). The faculty presents a central theme of discussion with the help of a problem. Students then deliberate on the idea and proceed to solve it with the help of occasional hints from the faculty. This 'method of pedagogy' is sometimes punctuated by some theoretical remark. However, these pauses are kept at a bare minimum. Our experience with the Thousand Flowers program is very interesting. Students, even slow starters, have exhibited almost 90% class turn-outs on a regular basis. Only 3 out of about 20 students retracted from the process in the last 1.5 years. The average age of the participants is 10 years though younger students do participate on a regular basis. After one year of the program, most of these kids show remarkable improvement in problem-solving ability. They also exhibit an enhanced interest in the subject. We will continue to tweak this program. It is of a certain pedagogical interest as well. If we want to create mathematicians (and researchers) of future, we need to develop a curriculum and method of teaching that facilitates creativity and imagination. In India, we have an even greater challenge. Our colonial past has presented us with an education system that is great at producing 'clerks' and extremely bad at creating innovators. Hence, in the Indian arena, programs like 'Thousand Flowers' are all the more important.

##### An excerpt from the Report
###### 21 mesures principales pour l’enseignement des mathématiques

PRIORITÉ AU PREMIER DEGRÉ

Formation initiale

Construire, dès 2018, la formation initiale des professeurs des écoles démarrant à Bac+1, de façon à assurer, dans une licence adaptée ou un parcours pluridisciplinaire, un volume suffisant d’enseignements dédié aux disciplines fondamentales.

CP-CE1 en Rep+

Inclure, dès septembre 2018, les mathématiques dans la priorité nationale décrétée en Rep+ pour les CP et CE1 à 12 ; étendre cette mesure à l’ensemble des Rep en 2020.

Expérimentation à grande échelle

Lancer, dès septembre 2018, sur le cycle 2, des expérimentations pour procéder à une évaluation scientifique de méthodes explicites et de l’efficacité de leur mise en œuvre.

Équipement

Proposer à toutes les écoles un équipement de base, accompagné de tutoriels, favorisant les manipulations d’objets réels ou virtuels.

MATHÉMATIQUES : EFFICACITÉ, PLAISIR ET AMBITION POUR TOUS

Les étapes d’apprentissage

Dès le plus jeune âge mettre en œuvre un apprentissage des mathématiques fondé sur - la manipulation et l’expérimentation ; - la verbalisation ; - l’abstraction.

Le cours

Rééquilibrer les séances d’enseignement de mathématiques : redonner leur place - au cours structuré et à sa trace écrite ; - à la notion de preuve ; - aux apprentissages explicites.

Périscolaire et clubs

Encourager les partenariats institutionnels avec le périscolaire et favoriser le développement de ce secteur. Recenser et pérenniser les clubs en lien avec les mathématiques (de modélisation, d’informatique, de jeux intelligents, etc.). Rémunérer les intervenants et adapter les emplois du temps des enseignants.

Apports des autres disciplines

Développer et renforcer les échanges entre les autres disciplines et les mathématiques ; expliciter les liens entre la langue française et les mathématiques dès le plus jeune âge.

Réconciliation

Proposer aux élèves du lycée un module annuel de « réconciliation » avec les mathématiques sur des thématiques et des démarches nouvelles.

Projets

Assurer, dans les projets disciplinaires ou interdisciplinaires (EPI, TPE, PPCP, Grand oral, etc.), une place importante aux mathématiques et à l’informatique.

NOMBRES ET CALCULS

Sens des nombres et des opérations

Cultiver le sens des quatre opérations dès le CP. L’enseignement effectif des grandeurs et mesures à l’école primaire vient soutenir le sens des nombres et des opérations.

Automatismes

Développer les automatismes de calcul à tous les âges par des pratiques rituelles (répétition, calculs mental et intelligent, etc.), pour favoriser la mémorisation et libérer l’esprit des élèves en vue de la résolution de problèmes motivants.

Paliers

Définir des paliers sur les bases des nombres et du calcul. S’assurer de la maîtrise obligatoire de ces fondamentaux par tous, en mesurant trois fois par an, les acquis des élèves sur un nombre limité d’items simples et standardisés.

FORMATION CONTINUE ET DÉVELOPPEMENT PROFESSIONNEL

Référent mathématiques

Développer la formation continue en mathématiques des professeurs des écoles. Dans chaque circonscription, favoriser le développement professionnel entre pairs et en équipe, et nommer un troisième conseiller pédagogique, « référent mathématiques ».

Développement professionnel en équipe

Développer la formation continue des professeurs de mathématiques à l’échelle locale, dans une logique de confiance, entre pairs et en équipe ; promouvoir l’observation conjointe ; dégager un temps commun dans les emplois du temps ; identifier les personnes ressources.

Laboratoire de mathématiques

Expérimenter, financer et évaluer sous trois ans, dès septembre 2018, dans au moins cinq établissements et un campus des métiers par académie, la mise en place de laboratoires de mathématiques en lien avec l’enseignement supérieur et conçus comme autant de lieux de formation et de réflexion (disciplinaire, didactique et pédagogique) des équipes.

PILOTAGE ET ÉVALUATION

Priorité nationale

Inscrire les mathématiques comme une priorité nationale en mobilisant tous les acteurs de la chaîne institutionnelle (recteurs, cadres, formateurs, enseignants).

Expert de haut niveau en mathématiques

Créer un poste d’expert de haut niveau en mathématiques à la Dgesco : responsable du suivi et de la mise en œuvre des préconisations de ce rapport au niveau national, il s’appuiera sur un réseau de chargés de mission académiques. Une évaluation de la mise en œuvre de ces mesures sera effectuée dans trois ans.

Égalité femmes-hommes

Former les enseignants et l’encadrement aux problématiques liées à l’égalité femmes- hommes en mathématiques (stéréotypes de genre, orientation professionnelle, réussite, etc.).

Manuels

Les manuels de mathématiques feront l’objet d’un positionnement sur une échelle, par un comité scientifique, en regard de chacun des critères d’une courte liste arrêtée par ce même comité.

Montée en puissance d’un portail de ressources

Doter ce portail de ressources en lien avec les mathématiques de moyens logistiques et de fonctionnement suffisants pour remplir pleinement ses missions.

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### Cheenta. Passion for Mathematics

Advanced Mathematical Science. Taught by olympians, researchers and true masters of the subject.