INTRODUCING 5 - days-a-week problem solving session for Math Olympiad and ISI Entrance. Learn More 

January 8, 2019

জাদু বর্গ

(বাংলা মাধ্যমের প্রাথমিক শিক্ষার্থীদের একটু অন্যভাবে বা অন্যরকম অঙ্কের স্বাদ দেওয়ার জন্য দশটি লেখার একটি সিরিজ তৈরি করা হয়েছে । যার নাম দশকথা । আজ দশকথার দ্বিতীয় কথা। এই লেখাতে আমরা ম্যাজিক স্কয়ার ব্যাপারটি বলব । আপনাদের মন্তব্য-প্রতিমন্তব্য  চিন্তা গণিত কেন্দ্রের এই উদ্যোগকে এগিয়ে নিয়ে যেতে সাহায্য করবে ।)

এই সিরিজের প্রথম কথা

ক্যাডবেরি খেতে তোমার কেমন লাগে? অন্য চকোলেটদের চেয়ে ক্যাডবেরি দেখতেও একটু অন্যরকম, তাই না !

প্রত্যেকটা খোপ বর্গাকার এবং একই রকমের দেখতে । এই খোপগুলোতে সংখ্যা বসিয়ে একটা দারুণ খেলা দেখানো যায় । এই রে! ভাবছ ক্যাডবেরিতে সংখ্যা বসিয়ে দিলে ওটা তো আর খাওয়া যাবে না । ঠিক আছে, তাহলে ক্যাডবেরিটা খেয়েই নাও । আমরা বরং খাতা-কলমে খেলাটা খেলি।

প্রথমে আমি তোমাকে খেলাটা দেখাই । নিচের ছবির মত একটা বর্গাকার ছক খাতায় এঁকে ফেলো।

এখানে মোট ৯ টি খোপ রয়েছে । এবার আমাদের ১ থেকে ৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলিকে এমনভাবে বসাতে হবে যাতে খোপগুলিতে বসানো সংখ্যাদের সোজাসুজি(উল্লম্বভাবে),পাশাপাশি(অনুভূমিকভাবে) এবং কোণাকুণি(কর্ণ বরাবর) যোগফল সমান হয় । অনুভূমিকভাবে থাকা খোপগুলিকে সারি এবং উল্লম্বভাবে থাকা খোপগুলিকে স্তম্ভ বলা হয় ।

এই খেলার আর একটা নিয়ম আছে, তুমি কোনও সংখ্যাকে একবারই ব্যাবহার করতে পার ।

এই জিনিসটার খুব সুন্দর একটা নাম আছে- জাদু বর্গ । এইবার দ্যাখো খেলার খেলার নিয়ম মেনে  ১ থেকে ৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলিকে একবারই ব্যাবহার করে  সোজাসুজি, পাশাপাশি এবং কোণাকুণি যোগফল ১৫ পেয়েছি । এই ১৫ কে বলা হয় জাদু ধ্রুবক

ধ্রুবক ব্যাপারটা বুঝলে না তো ?

বছরের যে সময়েই দ্যাখো না কেন দেখবে রাতের আকাশে ধ্রুবতারা একই জায়গাতে রয়েছে । অর্থাৎ সন্ধ্যাতারা বা শুকতারা যেমন বছরের একটি নির্দিষ্ট সময়ে দেখতে পাওয়া যাই, ধ্রুবতারা কিন্তু সারা বছরজুড়ে একই  অবস্থানে দেখতে পাওয়া যায় । সেইরকমই জাদু বর্গের সোজাসুজি, পাশাপাশি এবং কোণাকুণি যোগফল ধ্রুবতারার মতো স্থির অর্থাৎ একই হয় ।

আমার দেখানো জাদু বর্গকে বলে ৩x৩ ক্রমের জাদু বর্গ | এই  “৩x৩ ক্রম” ব্যাপারটি বুঝিয়ে বলা যাক | এখানে দ্যাখো ৩ টি সারি এবং ৩ টি স্তম্ভ আছে | এই ব্যাপারটাকেই ৩x৩ ক্রম বলে । এটার সাহায্যে আমরা বলে দিতে পারি মোট ক’টা খোপ আছে - যেমন ৩x৩ ক্রমের জাদু বর্গে ৯ টি খোপ থাকে । এই ৯ টি খোপে প্রথম  ৯ টি স্বাভাবিক সংখ্যাকেই (১,২,৩,৪,৫,৬,৭,৮, ৯) ব্যাবহার করেছি |

জাদু বর্গের আরেকটি জাদু ব্যাপার হল, “উল্টে দেখুন একই আছি” , অর্থাৎ স্তম্ভ বরাবর সংখ্যাগুলিকে সারি বরাবর লিখলেও নতুন বর্গটিও জাদু বর্গ হয় । জাদু ধ্রুবক একই থাকে ।

এবার দ্যাখ ৩x৩ ক্রম জাদু বর্গের জাদু ধ্রুবক ১৫, কিন্তু ৪x৪, ৫x৫  ক্রমের জাদু ধ্রুবকও কি ১৫ হবে?

জাদু ধ্রুবক সব ক্রমের জন্যে একই হয় না । জাদু ধ্রুবক নির্ণয় করার একটা কৌশল আছে । এইখানে একটা জিনিস খেয়াল করার মতো , সেটা হল জাদু বর্গে যতগুলি সারি থাকে ঠিক ততগুলিই স্তম্ভ থাকে । যেমন আমার দ্যাখানো জাদু বর্গে  ৩ টি সারি আর ৩ টি স্তম্ভ আছে । কিন্তু ৩ টি সারি আর ৪ টি স্তম্ভবিশিষ্ট জাদু বর্গ বানানো সম্ভব নয় । অর্থাৎ সারির সংখ্যা ও স্তম্ভের সংখ্যা সমান না হলে জাদু বর্গ তৈরি করা  সম্ভব নয় । কারণটা তুমিই খুঁজে দেখো । আমি একটা ছোট্ট সুত্র দিই কারনটা খোঁজার জন্যে । জাদু বর্গ - এই “বর্গ” শব্দের মধ্যেই লুকিয়ে রয়েছে কারনটা ।

এবার  জাদু ধ্রুবক বের করার কৌশলটি বলি ।

  • প্রথমে সারি সংখ্যার সাথে স্তম্ভ সংখ্যা গুণ করবে ।
  • গুণফলের সাথে ১ যোগ করবে ।
  • সেই যোগফলের সাথে সারি/স্তম্ভ সংখ্যা গুণ কর ।
  • এই নতুন পাওয়া গুণফলকে ২ দিয়ে ভাগ করো ।

দেখবে তাহলেই জাদু ধ্রুবক পেয়ে যাবে ।

৩x৩ ক্রমের জন্যে জাদু ধ্রুবকের মান ১৫ হচ্ছে কিনা একবার পরখ করে দেখ ।

এই ধরণের জাদু বর্গকে সাধারণ জাদু বর্গ  বলে । এবার তোমরা ৪x৪ ক্রমের সাধারণ জাদু বর্গ বানানোর চেষ্টা করো ।

এবার তোমাকে “জন্মদিনের জাদু বর্গ ”-এর কথা বলব । আমাদের দেশের বিখ্যাত গণিতজ্ঞ শ্রীনিবাস রামানুজন তাঁর নিজের জন্মদিন দিয়ে এই জাদু বর্গ বানিয়েছিলেন। এই জাদু বর্গ সব সময় ৪x৪ ক্রমের হয় ।

রামানুজনের জন্মদিন হল ২২-১২-১৮৮৭(২২ শে ডিসেম্বর, ১৮৮৭ খ্রিস্টাব্দ ) |

এখানে দ্যাখো, সারি,স্তম্ভ, কর্ণ বরাবর যোগফল ১৩৯|শুধু তাই নয়,নিচের ছবিগুলি লক্ষ্য কর, চারটি ক্ষেত্রেই রঙিন অংশগুলির যোগফলও ১৩৯ ।

এখানে আর একটি ব্যাপার লক্ষ্য করার, সাধারণ জাদু বর্গের মতো নির্দিষ্ট নিয়ম মেনে সংখ্যা নেওয়া হয়নি অর্থাৎ ৩x৩ ক্রমের জন্যে ১ থেকে ৯ পর্যন্ত নেওয়া হয়েছিল- এইক্ষেত্রে সেইসব বাধানিষেধ নেই । শুধু খেয়াল রেখো কোনো সংখ্যা দু’বার ব্যবহার করা যাবে না ।

এবার তুমি নিজের জন্মদিনের জাদু বর্গ বানিয়ে পাঠিয়ে দাও ।

প্রথমে জাদু ধ্রুবক বের করে নাও । যেমন  রামানুজনের জন্মদিনের জাদু বর্গের জাদু ধ্রুবক হল ১৩৯ (২২+১২+১৮+৮৭=১৩৯) । তারপর প্রথম সারির চারটি খোপে দিন-মাস-শতক-বছর(উদাঃ ২২-১২-১৮-৮৭) বসিয়ে দাও । তারপর জাদু বর্গ বানিয়ে নাও ।  

Leave a Reply

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Cheenta. Passion for Mathematics

Advanced Mathematical Science. Taught by olympians, researchers and true masters of the subject.
JOIN TRIAL
support@cheenta.com