INTRODUCING 5 - days-a-week problem solving session for Math Olympiad and ISI Entrance. Learn More 

September 27, 2014

ইঁদূরের গর্ত থেকে ডিরিশলেটের বাক্স

ইঁদূরের গর্ত দিয়ে কেমন অঙ্ক হয়? দেখাই যাক।

ওই সামনের বটগাছটা দেখছ। ধর তার শেকড়ের আড়ালে ১০ টা গর্ত আছে। ইঁদূরের গর্ত। এদিকে তুমি আমি তো অঙ্ক কষার নামে গাছের চার পাশে লাট্টু ঘুরিয়ে চলেছি। ঠিক গুনেছি যে এ তল্লাটে ইঁদূর আছে ১১টা।

এবার বল ১০টা গর্তে ১১টা ইঁদূর থাকে কি করে? তুমি বলবে অবশ্যই কোনও একটা গর্তে এক-এর বেশি ইঁদূরকে থাকতে হবে। এই সহজ ব্যাপারটাকেই আমরা একটু তলিয়ে দেখব।

যুক্তির শেকরবাকরঃ

১। ধরা যাক প্রতিটা গর্তে ১ অথবা তার কম ইঁদুর বাস করে।

২। তাহলে ১০টা গর্তে (১+১+...+১ দশবার) ১০টা অথবা তার কম সংখ্যক ইঁদুরই থাকতে পারে।

৩। অথচ ইঁদুর আছে ১০এর বেশি (১১টা)

৪। (১) (কমলা রঙে) যা লিখেছিলাম তা ভুল।

৫। অতএব কোনও একটা গর্তে একাধিক ইঁদুর আছে।

এই সাধারণ ব্যাপারটাকে এত জটিল করে ভেঙে ভেঙে ভাবছি কেন? কারণ একটা আছে এবং তা ক্রমশঃ প্রকাশ্য। আপাতত যুক্তির ক্রমপর্যায়টা মাথায় রেখে আমরা একটা অংক করে ফেলি।

নবীন ময়রার দোকানে

নবীন ময়রার দোকানে জন্মাষ্টমীর দিন শুধু দুই রকম মিষ্টিই হয়। ক্ষিরমোহন আর তালের বড়া (তালের বড়া অবশ্য ঠিক মিষ্টান্ন নয়)। একটাই ঝুড়ির ভেতর বেশ অনেকগুলো তালের বড়া আর ক্ষিরমোহন রাখা থাকে। পুঁটুরানি দোকানে গেছে সকাল সকাল। মিঠাইওলা বললে, "আচ্ছা পুঁটুরানি, শুনলাম তো তুমি অঙ্ক-এ খুব ভাল ভাল নম্বর পাও। বল দেখি, তুমি যদি চোখ বুজে ঝুড়িটার থেকে মিষ্টি তুলে আনো, মোট কটা মিষ্টি তোলা হলে বলতে পারবে যে একই রকমের অন্তত দুটো মিঠাই তোলা হয়েছে?"

পুঁটূরানি চোখ বুজে মিনিট খানেক ভাবলে। "তিনটে!"

মিঠাইওলাঃ কেমন করে বললে?

পুঁটুরানি তো আমাদেরই সঙ্গে বুড়োবটের তলায় লাট্টু ঘুরিয়ে থাকে। সেও ইঁদুরের গর্তর ব্যাপারে ওস্তাদ। সে সটান বলে দিলে, " আচ্ছা ধর আমি ভুল বলছি। মানে ৩টে মিষ্টি তুলেছি, কিন্তু এক রকমের ২টো মিষ্টি তোলা হয়নি।। তাহলে

১। ধরাযাক প্রতি রকমের মিষ্টিই হয় একটা করে তোলা হয়েছে অথবা হয়নি।

২। তাহলে খুব বেশি হলে (১+১) ২ টো মিষ্টি তোলা হয়েছে (একটা তালের বড়া আর একটা ক্ষিরমোহন)

৩। অথছ এদিকে আমি চোখ বুজে মিষ্টি তুলেছি ৩টে।

৪। (১) (কমলা রঙে) যা লিখেছিলাম তা ভুল।

৫। অতএব কোনও একটা ধরনের একাধিক মিষ্টি তুলেছি (এবং ১ এর বেশি মানে কমপক্ষে ২টো)।

আরো কিছু অঙ্ক

  • আটটা ভিন্ন ভিন্ন গোটা সংখ্যার মধ্যে এরকম অন্তত দুটো সংখ্যা থাকবে যাদের পার্থক্য সাত দিয়ে ভাগ করা যায়। (যেকোনো ৮টা সংখ্যা)
  • বিজ্ঞানিরা গবেষণা করে দেখেছেন যে কোনও মানুষের গায়ে (চুল সমেত) বিশ লাখের বেশি লোম থাকতে পারে না। যদি কলকাতা শহরের জনসংখ্যা ১ কোটি হয় তাহলে শহরে অন্তত ৪ জন মানুষকে পাওয়া যাবে যাদের গায়ে ঠিক একই সংখ্যায় লোম আছে।
  • ১ থেকে ১৫ অবধি সংখ্যা গুলোর থেকে যে কোনও আটটা সংখ্যা বেছে নিলে, এরকম তিন জোড়া সংখ্যা পাওয়া যাবে যাদের পার্থক্য সমান। (কোনও দুজোড়ায়  একই সংখ্যা দুবার আসতে পারে)।

Leave a Reply

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Cheenta. Passion for Mathematics

Advanced Mathematical Science. Taught by olympians, researchers and true masters of the subject.
JOIN TRIAL
support@cheenta.com